В прямоугольный треугольник вписали круг?

Niazowa1989 14 янв. 2020 г., 06:10:05

Баллов, конечно, маловато.

Обозначим треугольник АВС.

С - прямой угол.

Точки соприкосновения со стороной АС назовем К, а со стороной СВ - М.

Заметим, что АС = АК + КС = 9 + 3 = 12 см.

Заметим, что СКОМ - квадрат, так как ОК перпендикулярно АС - так как АС - касательная к вписанной окружности.

С - прямой угол по условию задачи.

ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности.

На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов по свойству сумм углов четырехугольника в евклидовой геометрии.

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.

3 известных угла - прямые, значит на четвертый угол КОМ остается 360 - 3 * 90 = 360 - 270 = 90градусов.

Заметим, что СК = ОК = 3 см.

Значит длина радиуса вписанной окружности равна 3 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = 0, 5AC * CB = 0, 5 * 12 * CB = 6CB (1).

С другой стороны S = p * r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.

S = 3 * p.

S = 3 * 0, 5 * (AC + CB + AB).

S = 3 * 0, 5 * (12 + CB + AB).

По теореме Пифагора $AB=\sqrt{AC^2+CB^2}$

Или $AB=\sqrt{12^2+CB^2}$

$AB=\sqrt{144+CB^2}$

Значит по - другому

$S=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})\quad(2)$

Приравняем правые части уравнений (1) и (2).

Найдем катет СВ.

$6CB=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})$

Сократим обе части на 3.

$2CB=0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})$

Умножим обе части на 2

$4CB=12+CB+\sqrt{144+CB^2}$

$4CB-12-CB=\sqrt{144+CB^2}$

$3CB-12=\sqrt{144+CB^2}$

Возведем обе части в квадрат

$9CB^2-72CB+144=144+CB^2$

Сократим обе части на слагаемое 144.

[img = 10]

Перенесем все в одну часть

[img = 11]

[img = 12]

Сократим обе части на 8.

[img = 13]

[img = 14]

Первый ответ СВ = 0 - не подходит по смыслу задачи.

Второй ответ СВ = 9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же теореме Пифагора [img = 15]

[img = 16]

[img = 17]

[img = 18]

[img = 19]

AB = 15 см

Ответ : неизвестный катет равен СB = 9 см, гипотенуза равна AB = 15 см.

Хххххххх1 24 мая 2020 г., 21:26:21 | 10 - 11 классы

Катеты прямоугольного треугольника?

Катеты прямоугольного треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 см.

Из вершины прямого угла проведена биссектриса.

На какие отрезки разделилась гипотенуза?

Balhis 4 нояб. 2020 г., 06:25:43 | 5 - 9 классы

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 2, а гипотенуза равна 104 см?

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 2, а гипотенуза равна 104 см.

Найдите отрезки, на которые гипотенуза

делится высотой, проведённой из вершины

прямого угла.

Vladakrg 22 июл. 2020 г., 00:56:03 | 5 - 9 классы

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5см и 12см?

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5см и 12см.

Найти катеты треугольника.

89767568kzkz 19 сент. 2020 г., 14:22:19 | 10 - 11 классы

В прямоугольном треугольнике точка лежащая на гипотенузе и равноудалённая от катетов делит гипотенузу на отрезки 3 и 4?

В прямоугольном треугольнике точка лежащая на гипотенузе и равноудалённая от катетов делит гипотенузу на отрезки 3 и 4.

Найдите высоту проведённую из вершины прямого угла?

Йорік 25 авг. 2020 г., 11:09:21 | 10 - 11 классы

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5си и 12 см?

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5си и 12 см.

Найти катеты треугольника.

Wika95 5 янв. 2020 г., 14:54:56 | 5 - 9 классы

В прямоугольный треугольник вписан круг?

В прямоугольный треугольник вписан круг.

Точка прикосновения делит один из катетов на отрезки длинной по 3 и 9 см.

Начиная от вершины прямого угла.

Найти второй угол и гипотенузу.

Dimertens 25 нояб. 2020 г., 16:07:23 | 10 - 11 классы

Плиз срочно?

Плиз срочно.

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см .

Найдите длины катетов.

Zay426 5 окт. 2020 г., 05:20:49 | 5 - 9 классы

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки , равные 5 см и 12см ?

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки , равные 5 см и 12см .

Найдите катеты.

Привет22842 11 дек. 2020 г., 21:49:02 | 5 - 9 классы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, один из катетов равен 5?

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, один из катетов равен 5.

Найдите второй катет, высоту, проведенную из вершины прямого угла, и отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу.

Настяпидр 20 нояб. 2020 г., 17:50:20 | 5 - 9 классы

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла , делит гипотенузу на отрезки 3 и 5 см ?

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла , делит гипотенузу на отрезки 3 и 5 см .

Найдите катеты треугольника.