В правильный треугольник со стороной а вписаны 3 окружности так чтобы каждая из них касалась друг друга и сторон треугольника?

Ludmilaled38 7 мая 2021 г., 17:22:26

Если рассмотреть построение получается, что в одну сторону треугольника вписываются по два радиуса этих окружностей и по две радиуса умноженных на корень(3) или

a = 2(r + r * корень(3))

или

r = 0.

5 * a / (1 + корень(3))

Дело теперь на немногим - найти площадь просвета между касающимися окружностями.

Очевидно он равен площади правильного треугольника Sт со стороной 2r за вычетом трех 60 - градусных секторов круга с радиусом r Sо.

Площадь треугольника Sт = 0.

5 * 2r * 2r * корень(3) / 2 = r * r * корень(3).

Площадь трех секторов по 60 градусов - это половина площади круга Sо = п * r * r / 2.

То есть искомая площадь : S = Sт - Sо = r * r * корень(3) - п * r * r / 2 = r * r * (корень(3) - п / 2)

С учетом значения радиуса найденного выше :

S = 0.

25 * a * a * (корень(3) - п / 2) / (1 + корень(3)) ^ 2

или примерно 0.

0054 * a * a.

Рагим 7 мая 2021 г., 17:22:29

Каждая из 3 - х вписанных окружностей вписана в прямоугольный треугольник, на который делится высотами ( медианами и биссектрисами) исходный.

Поскольку высоты из каждой вершины ∆ АВС равны, равны и вписанные в такие треугольники окружности.

Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ АСН.

Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r = (a + b - c) : 2, где а и b– катеты, с - гипотенуза.

Угол НАС = 30°

Гипотенуза АС = а, противолежащий углу 30°.

2 катет НС = а / 2

АН = АС•sin60° = a√3 / 2

r = (a√3 / 2 + a / 2 - a) : 2 = (a√3 - a) : 4 = a(√3 - 1) : 4

Соединив центры окружностей, получим правильный треугольник, стороны которого равны 2r.

Каждый угол этого треугольника отсекает от окружностей по сектору с углом 60°.

Всего таких секторов 3, площадь каждого равна 1 / 6 площади круга, значит, их общая площадь равна 3 / 6 = 1 / 2 площади круга.

Искомая площадь криволинейного треугольника равна разности между площадью ∆ ОО1О2 и 1 / 2 площади одного из вписанных кругов.

S ∆ ОО1О2 по формуле площади правильного треугольника

S = (2r)²•√3 / 4 = r²√3

S(кp) = πr²

Искомая площадь r²√3 - πr² / 2 = r²•(2√3 - π) : 2

Подставим в это выражение найденный выше r = a(√3 - 1) : 4

S = [a(√3 - 1) : 4]²•(2√3 - π) : 2 = a²(4 - 2√3)•(2√3 - π) : 32

S = [a(√3 - 1) : 4]²•(2√3 - π) : 2 = a²•(2 - √3)•(2√3 - π) : 16После вычислений получим искомую площадь равной 0, 05401 а².

Vertinskayanas 13 февр. 2021 г., 18:52:42 | 5 - 9 классы

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках L M и N доказать что треугольник LMN остроугольный?

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках L M и N доказать что треугольник LMN остроугольный.

Annadub1 14 янв. 2021 г., 10:23:37 | 5 - 9 классы

В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник в этот треугольник вписана окружность а в окружность квадрат?

В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник в этот треугольник вписана окружность а в окружность квадрат.

Найдите сторону квадрата.

Раешпрд 23 мая 2021 г., 03:01:59 | 5 - 9 классы

Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности?

Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.

Anastasua41 1 мая 2021 г., 06:10:46 | 10 - 11 классы

Найдите длину окружности и площадь вписанного вписанных в правильный треугольник со стороной 6 см?

Найдите длину окружности и площадь вписанного вписанных в правильный треугольник со стороной 6 см.

Katrintk04 27 янв. 2021 г., 03:03:12 | 10 - 11 классы

Правильный треугольник со стороной 5√3 вписан в окружность?

Правильный треугольник со стороной 5√3 вписан в окружность.

Найдите длину окружности и площадь круга.

Ibragim29 31 июл. 2021 г., 17:03:32 | 5 - 9 классы

Площадь окружности, вписанной в правильный треугольник равна 3п см²?

Площадь окружности, вписанной в правильный треугольник равна 3п см².

Найдите сторону треугольника.

Dima0388 21 июл. 2021 г., 10:48:31 | 5 - 9 классы

Боковая сторона равнобедренного треугольника, в который вписана окружность, равна 50 см?

Боковая сторона равнобедренного треугольника, в который вписана окружность, равна 50 см.

Высота этого же треугольника, равна 40 см.

Найдите расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника.

YouMe123 10 авг. 2021 г., 11:41:34 | 5 - 9 классы

В треугольник АBC вписали окружность с центром в точке О, которая касается стороны АС = 8 см в точке К, ОК = 3 см?

В треугольник АBC вписали окружность с центром в точке О, которая касается стороны АС = 8 см в точке К, ОК = 3 см.

Найдите площадь треугольника АОС.

Ekaterina46573 11 июл. 2021 г., 23:26:21 | 5 - 9 классы

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан.

Этот треугольник…

а) прямоугольный

б) равнобедренный

в) равносторонний

Окружность называется вписанной в многоугольник, если ….

А) все его стороны касаются окружности

б) все его вершины лежат на окружности

в) все его стороны имеют общие точки с окружность.

Angelinazigalova 13 мая 2021 г., 18:45:15 | 10 - 11 классы

Помогите, пожалуйста, с задачей по геометрии)Три равных окружности радиуса R касаются друг друга?

Помогите, пожалуйста, с задачей по геометрии)

Три равных окружности радиуса R касаются друг друга.

Найдите площадь заштрихованного криволинейного треугольника.