Докажите, что если каждая диагональ делит площадь четырехугольника пополам, что этот четырехугольник – параллелограмм?

Povkh72 25 июл. 2020 г., 04:39:44

Ну вот пусть там площади четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, S1, S2, S3, S4, тогда

S1 + S2 = S3 + S4 ;

S1 + S4 = S3 + S2 ;

следовательно S2 - S4 = S4 - S2 ; то естьS2 = S4 ; само собой и S1 = S3 ;

Теперь, если отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагонали, как x, y - для одной диагонали z, w - для другой, то, x / y = S1 / S2 ; и y / x = S3 / S4 = S1 / S2 ; так как у смежных треугольников есть общая высота к "основаниям", то есть к сторонам x иy, откуда стороны относятся, как площади.

Поэтому x = y ; аналогично z = w ;

Получилось, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам.

Я, конечно, могу продолжить доказывать, но тут можно и остановиться - дальше вам на уроках должны были объяснять.

Вкратце - "вертикальные" треугольники не просто имеют равные площади, они вообще оказались равными, откуда следует параллельность сторон.

Артёмочка200005 28 февр. 2020 г., 04:12:58 | 5 - 9 классы

Какой четырехугольник называется ромбом?

Какой четырехугольник называется ромбом?

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Rikookamuro 29 апр. 2020 г., 15:58:13 | 5 - 9 классы

Докажите, что если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам , то этот четырех угольник - параллелограмм (признак параллелограмм)?

Докажите, что если в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам , то этот четырех угольник - параллелограмм (признак параллелограмм).

Даруша 4 июл. 2020 г., 02:41:23 | 5 - 9 классы

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD делит угол B пополам?

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD делит угол B пополам.

BD (в квадрате) / BC = AB.

А) Докажите, что угол BAD = углу BDC ;

б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABCD и треугольника ABD, если DC = 1, 5 AD.

Quarta 16 апр. 2020 г., 18:47:04 | 5 - 9 классы

Точка пересечения диагоналей четырехугольника ВСКМ не является середингй одной из них?

Точка пересечения диагоналей четырехугольника ВСКМ не является середингй одной из них.

Может ли этот четырехугольник быть параллелограммом?

Qwerpol1qwer 20 мая 2020 г., 08:06:58 | 5 - 9 классы

Точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCM является центром его симметрии ?

Точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCM является центром его симметрии .

Докажите что ABCM - параллелограмм.

Bekbaubek 3 окт. 2020 г., 03:52:53 | 10 - 11 классы

В четырехугольнике АВСD диагональ АС делит ∠А пополам?

В четырехугольнике АВСD диагональ АС делит ∠А пополам.

Известно, что АВ = 3, ВС = √3, CD = 2, AD = 4.

Найдите диагонали и углы четырехугольника АВСD /.

Syltanova55 30 апр. 2020 г., 21:44:06 | 5 - 9 классы

Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике диагонали точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм?

Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике диагонали точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

STARTI 7 нояб. 2020 г., 12:24:50 | 5 - 9 классы

Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра?

Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра.

Avdonina0404 11 мая 2020 г., 06:56:07 | 5 - 9 классы

Помогите решить задачу по геометрии, пожалуйста : ) Докажите, что точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, отличного от параллелограмма, дели?

Помогите решить задачу по геометрии, пожалуйста : ) Докажите, что точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, отличного от параллелограмма, делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей.

(с доказательством).

Спасибо : ).

Lena6911 19 окт. 2020 г., 23:53:08 | 10 - 11 классы

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника вдвое больше площади параллелограмма с вершинами в серединах его сторон?

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника вдвое больше площади параллелограмма с вершинами в серединах его сторон.