Геометрия | 5 - 9 классы
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два.
Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1.
Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см.
В треугольник вписана окружность радиуса 1 см.
Найдите площадь треугольника.
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника.
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD?
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD.
Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD?
Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD.
Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16?
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16.
Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2см?
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, радиус вписанной в этот треугольник окружности 2см.
Найдите периметр и площадь треугольника.
Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD?
Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника - BCD и ACD.
Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 1 и 2 соответственно.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Прямоугольном треугольнике катет равен 7 а гипотенуза равна 25 найдите радиус вписанной в треугольник окружности?
Прямоугольном треугольнике катет равен 7 а гипотенуза равна 25 найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
Вопрос Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 - 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.
Я не знаю, как положено решать эту задачу, но я нашел удивительно красивое геометрическое решение.
См. чертеж.
Внимательно посмотрите на обозначения!
Скажем, М - основание высоты СМ = h, ВМ = х, и так далее.
Рассмотрим треугольник О1О2М.
Легко видеть, что О1К1МР1 - квадрат (К1 и Р1 - точки касания АВ и СМ первой окружности), поэтому О1М = r1 * корень(2) ;
Точно так же О2М = r2 * корень(2) ;
Кроме того, О1М перпендикулярно О2М - это биссектрисы смежных углов.
Итак, О1О2М - прямоугольный треугольник с катетамиr1 * корень(2) иr2 * корень(2)
Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобных.
Треугольники ВСМ и САМ (и АВС, конечно) подобны.
Поскольку в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности
r = (a + b - c) / 2, то в подобных треугольниках отношение радиусов такое же, как отношение сторон.
Это означает, что
r2 / r1 = h / x (отношение малых катетов в треугольниках САМ и СВМ)
Но h - большой катет в треугольнике ВСМ.
Поэтому перед нами соотношение, ДОКАЗЫВАЮЩЕЕ подобие треугольников ВСМ и О1О2М !
В самом деле, мы УЖЕ доказали, что О1М / О2М = ВМ / СМ.
Для прямоугольного треугольника этого вполне достаточно.
Для радиуса вписанной окружности r треугольника АВС тоже можно записать соотношение подобия (пропорциональности) с треугольником ВСМ.
R / r1 = c / b (b - гипотенуза в треугольнике ВСМ).
Но c / b = d / (r1 * корень(2)) (отношение гипотенузы к малому катету в треугольниках АВС и О1О2М).
Поэтому
r / r1 = d / (r1 * корень(2)) ;
r = d / корень(2) ;
ну, d = 1 по условию.
Всё так удачно складывается именно потому, что h и b играют как - бы двойную роль - h - малый катет в СМА и большой в ВМС, а b - малый катет в АВС, и гипотенуза в ВМС.