Доказать формулу Лейбница?

PolenikovaVika 9 дек. 2021 г., 04:25:38

GA + GB + GC = 0 ; (1)

если G - точка пересечения медиан.

На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как

GA + GB = 2 * GM = - GC ;

где M - середина AB

Тогда

3 * PG = PA + PB + PC ; (2)

для любой точки P - это сразу видно, если подставить

PA = PG + GA ; PB = PG + GA ; PC = PG + GC ;

Из (1) после возведения в квадрат

0 = GA ^ 2 + GB ^ 2 + GC ^ 2 + 2(GA * GB + GA * GB + GB * GC) ; (3)

а из (2)

9 * PG ^ 2 = PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 + 2(PA * PB + PA * PC + PB * PC) =

PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 + 2((PG + GA) * (PG + GB) + (PG + GA) * (PG + GC) + (PG + GB) * (PG + GC)) = PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 + 6 * PG ^ 2 + 4 * PG * (GA + GB + GC) + 2(GA * GB + GA * GC + GB * GC) ;

если учесть (1) и (3), получается

3 * PG ^ 2 = PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 - (GA ^ 2 + GB ^ 2 + GC ^ 2)

Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA * PB означает в этих случаях скалярное произведение.

ЧТД.

Алнащнаннщс 15 февр. 2021 г., 20:10:49 | 5 - 9 классы

В прямоугольном треугольнике abc угол c = 90, о точка пересечения медиан, со = 4?

В прямоугольном треугольнике abc угол c = 90, о точка пересечения медиан, со = 4.

Найдите гипотенузу ав.

Olyagavrilenko 30 апр. 2021 г., 00:11:31 | 5 - 9 классы

Дано : АМ и СЕ - медианы треугольника ABC, треугольник ABC - равнобедренный, с основанием АС?

Дано : АМ и СЕ - медианы треугольника ABC, треугольник ABC - равнобедренный, с основанием АС.

Точка О - точка пересечения медиан треугольника АBC.

Доказать : Треугольник АОС - равнобедренный.

DemlionD 25 янв. 2021 г., 07:39:45 | 5 - 9 классы

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AM и CE - медианы треугольника?

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AM и CE - медианы треугольника.

Докажите что треугольник AOC равнобедренный где O - точка пересечения.

Gorgal 21 июн. 2021 г., 01:40:52 | 5 - 9 классы

Доказать, что К - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, срочно помогите?

Доказать, что К - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, срочно помогите!

Jenifer5 15 сент. 2021 г., 14:31:20 | 1 - 4 классы

Сформулируйте свойство точки пересечения медиан треугольника?

Сформулируйте свойство точки пересечения медиан треугольника.

Anzhela11111 6 нояб. 2021 г., 02:26:53 | 5 - 9 классы

Отрезок BD - медиана треугольника ABC?

Отрезок BD - медиана треугольника ABC.

Точка О - точка пересечения медиан треугольника - удалена от прямой BC на расстоянии равное / 3 см.

Вычислите длину медианы BD если угл DBC = 60.

Miller91199 19 сент. 2021 г., 03:33:21 | 5 - 9 классы

Отрезок BD - медиана треугольника ABC?

Отрезок BD - медиана треугольника ABC.

Точка О - точка пересечения медиан треугольника - удалена от прямой BC на расстоянии равное корень из 3 см.

Вычислите длину медианы BD если угол DBC = 60.

АннаАлёна 25 нояб. 2021 г., 17:06:36 | студенческий

7. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

7. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

DerishevaSofiya 20 дек. 2021 г., 17:20:31 | 5 - 9 классы

Что является центром описанной окружности любого треугольника?

Что является центром описанной окружности любого треугольника?

А) точка пересечения высот ; Б) точка пересечения медиан ; В) точка пересечения биссектрис ; Г) точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Ledenevas 12 авг. 2021 г., 08:06:03 | 10 - 11 классы

Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1?

Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1.