Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон?

Олег2003 23 сент. 2021 г., 03:00:19

По формуле Брахмагупты площадь вписанного в окружность четырехугольника равна :

$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$,

где a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - полупериметр.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.

Е. a + b = c + d

Уберём из формулы площади полупериметр, зная, что a + b = c + d :

$S = \sqrt{(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - a)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - b)} \cdot \\ \\ \sqrt{\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - c)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - d)} = \\ \\ \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(a + b + c -d)(a + b - c + d)(a - b+ c + d)(-a + b + c + d) } = \\ \\ \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(c + d + c -d)(c + d - c + d)(a - b+ a + b)(-a + b + a + b) }= \\ \\ \sqrt{ \dfrac{1}{16} 2c \cdot 2d \cdot 2a \cdot 2b } = \sqrt{ \dfrac{1}{16}\cdot 16abcd } = \boxed{\sqrt{abcd} }$.

Mik80z 18 авг. 2021 г., 00:59:11 | 5 - 9 классы

Как найти сторону описанного четырехугольника x + 4, если соседние стороны равны по 5 см?

Как найти сторону описанного четырехугольника x + 4, если соседние стороны равны по 5 см?

Как найти сторону описанного четырехугольника 2х, если соседние стороны равны по 5 см?

Kadiruserov 10 янв. 2021 г., 01:42:36 | 5 - 9 классы

Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8?

Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8.

Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Asdfghjklzxcv67 24 февр. 2021 г., 21:31:52 | 5 - 9 классы

Найдите радиусы вписанной и описанной окружнотей около правильного четырехугольника со стороной 9 см?

Найдите радиусы вписанной и описанной окружнотей около правильного четырехугольника со стороной 9 см.

ДЖЕКА1231 22 мар. 2021 г., 09:56:35 | 5 - 9 классы

Сторона квадрата равна 16 см?

Сторона квадрата равна 16 см.

Найди площади вписанной окружности в квадрате, и описанной.

89876733417 9 окт. 2021 г., 18:41:56 | 5 - 9 классы

Срочно помогите ?

Срочно помогите !

Укажите номера верных утверждений .

1)Если в четырехугольнике две противоположных стороны равны и параллельны , то этот четырехугольник является параллелограммом .

2)Если у четырехугольника сумма противоположных углов не равна 180 * , то около этого четырехугольника нельзя описать окружность .

3)Около любого параллелограмма можно описать окружность .

4)В любой прямоугольник можно вписать окружность .

Viktori6605 19 авг. 2021 г., 13:40:20 | 5 - 9 классы

Докажите, что площадь правильного шестиугольника равна утроенному произведению радиусов вписанной и описанной окружностей?

Докажите, что площадь правильного шестиугольника равна утроенному произведению радиусов вписанной и описанной окружностей.

Bosyalai 5 сент. 2021 г., 07:31:00 | 5 - 9 классы

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см?

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см.

Найдите площадь четырехугольника.

Vikkivikki 26 нояб. 2021 г., 07:41:55 | 5 - 9 классы

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см?

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см.

Найдите площадь четырехугольника.

Asandraxxl1 2 мая 2021 г., 16:59:22 | 5 - 9 классы

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 13 см, а радиус вписанной в него окружности равен 9 см?

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 13 см, а радиус вписанной в него окружности равен 9 см.

Найдите площадь четырехугольника.

Zhakontai 20 нояб. 2021 г., 12:17:22 | студенческий

Доказать, что площадь четырехугольника равна произведению отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, и синуса угла между ними?

Доказать, что площадь четырехугольника равна произведению отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, и синуса угла между ними.