Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если известно что отношение радиуса описанной около этого треугольника окружности к радиусу вписанной в него окружности равно 1 + корень из 3?

Геометрия | 5 - 9 классы

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если известно что отношение радиуса описанной около этого треугольника окружности к радиусу вписанной в него окружности равно 1 + корень из 3.

Ответить на вопрос

Для ответа на вопрос необходимо пройти авторизацию или регистрацию.

Ответы (2)

Verok2809 15 сент. 2021 г., 15:09:41

Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности, т.

Е. $R = \dfrac{1}{2}c$

Или (по теореме Пифагора) :

$\sqrt{a^2 + b^2} = 2R$

Радиус вписанной окружности связан со сторонами прямоугольного треугольника следующим соотношением :

$r = \dfrac{a + b - c}{2}$

Или (по теореме Пифагора) :

$r = \dfrac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2} }{2}$

Объединим две формулы с условием и получим :

$\dfrac{ \dfrac{ \sqrt{a^2 + b^2}} {2}} { \dfrac {a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2} } = \sqrt{3} + 1 \\ \\ \\ \dfrac{ \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{3} + 1 \\ \\ ( \sqrt{3} + 1)(a + b) - \sqrt{3} \sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \\ ( \sqrt{3} + 1)(a + b) = (2 + \sqrt{3}) \sqrt{a^2 + b^2}$

Теперь возведём в квадрат :

$( \sqrt{3} + 1)(a + b) = (2 + \sqrt{3}) \sqrt{a^2 + b^2} \\ \\ (3 + 2 \sqrt{3} + 1)(a^2 + 2ab + b^2) = (4 + 4 \sqrt{3} + 3)(a^2 + b^2) \\ \\ (4 + 2 \sqrt{3} )(a^2 + 2ab + b^2) = (7 + 4 \sqrt{3})(a^2 + b^2) \\ \\ 4a^2 + 8ab + 4b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 4 \sqrt{3} ab + 2 \sqrt{3}b^2 = 7a^2 + 7b^2 + 4 \sqrt{3}a^2 + \\ + 4 \sqrt{3}b^2 \\ \\ 3a^2 + 3b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 2 \sqrt{3} b^2 - 8ab - 4 \sqrt{3} ab = 0$

Сгруппируем :

$3a^2 + 3b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 2 \sqrt{3} b^2 - 8ab - 4 \sqrt{3} ab = 0 \\ \\ (3 + 2 \sqrt{3})a^2 - ab(8 + 4 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 3)b^2 = 0$

Разделим на b² :

$(3 + 2 \sqrt{3}) \dfrac{a^2}{b^2} - (8 + 4 \sqrt{3})\dfrac{a}{b} + (2 \sqrt{3} + 3) = 0$

Сделаем замену.

Пусть$t = \dfrac{a}{b}$

$(2 \sqrt{3} + 3) t^2 - (8 + 4 \sqrt{3})t + (2 \sqrt{3} + 3) = 0 \\ \\ D = (8 + 4 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot (3 + 2 \sqrt{3})^2 = (8 + 4 \sqrt{3} - 6 - 4 \sqrt{3}) \cdot \\ \cdot (8 + 4 \sqrt{3} + 6 + 4 \sqrt{3})= 4(7+ 4 \sqrt{3}) \\ \\ t_1 = \dfrac{8 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{4(7+ 4 \sqrt{3})} }{2(2 \sqrt{3} + 3)} = \dfrac{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{7+ 4 \sqrt{3}} }{2 \sqrt{3} + 3} \\ \\$

[img = 10]

Обратная замена :

Отношения a / b есть тангенсы острых углов.

Тогда острые углы равны арктангенсам данных углов :

[img = 11].

Zhukovrichard 15 сент. 2021 г., 15:09:44

Решение прицеплено в картинке.

Раешпрд 23 мая 2021 г., 03:01:59 | 5 - 9 классы

Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности?

Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.

Zuban1 13 авг. 2021 г., 12:37:18 | 5 - 9 классы