Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов?

NastyaVolan 6 нояб. 2020 г., 07:59:06

ДАНО : SАВС - правильная треугольная пирамида ; SD = h ; линейный угол двугранного угла ABCS равен 45°.

НАЙТИ : S пол.

Пов. пирамиды

______________________________

РЕШЕНИЕ :

1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний

В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС

В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН

отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости →

SD перпендикулярен АН

АН перпендикулярен ВС

Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах

Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°

2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°) :

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90°

угол HSD = 90° - 45° = 45°

Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h

По теореме Пифагора :

SH² = SD² + DH²

SH² = h² + h² = 2h²

SH = h√2

Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины

Следовательно, AD : DH = 2 : 1 →

AD = 2 × DH = 2h

AH = AD + DH = 2h + h = 3h

Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле :

$a = \frac{2 \sqrt{3} h}{3}$

где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота

BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h

S пол.

Пов. пирамиды = S осн.

+ S бок.

Пов. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →

S пол.

Пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле :

$s = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3} }{4}$

где а - сторона равностороннего треугольника

S пол.

Пов. пирамиды =

$= \frac{ {(2 \sqrt{3}h) }^{2} \sqrt{3} }{4} + 3 \times \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} h \times h \sqrt{2} = \\ = 3 \sqrt{3} {h}^{2} + 3 \sqrt{6} {h}^{2} = 3 \sqrt{3} {h}^{2} (1 + \sqrt{2} )$

ОТВЕТ : 3√3h² × ( 1 + √2 ).

АкваМориша 18 мая 2020 г., 07:46:12 | 10 - 11 классы

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см?

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см.

Двугранный угол при основании равен а (альфа).

Найти объём пирамиды.

Анна10577337 14 мар. 2020 г., 05:11:57 | 10 - 11 классы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см?

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см.

, а двугранный угол при стороне основания равен 30 градусов.

Найдите площадь полной поверхности пирамиды?

Tatyanabiberlov 4 мар. 2020 г., 20:09:31 | 10 - 11 классы

Высота правильной треугольной пирамиды равна 3, двугранный угол при основании равен 60 градусов?

Высота правильной треугольной пирамиды равна 3, двугранный угол при основании равен 60 градусов.

Найдите объем пирамиды.

Yuliapa18 11 окт. 2020 г., 15:16:07 | 10 - 11 классы

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60 градусов?

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60 градусов.

Найти прощу боковой поверхности пирамиды если ее высота 13 см .

, А сторона основания 4 см .

Найти Sбоков.

Kristinariazan1 18 нояб. 2020 г., 23:20:26 | 5 - 9 классы

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол при стороне основания - 30 градусов?

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол при стороне основания - 30 градусов.

Найти площодь боковой поверхности.

Ник1413 18 окт. 2020 г., 15:22:09 | 5 - 9 классы

В правильной пятиугольной пирамиде двугранный угол при стороне основания равен 60 градусов?

В правильной пятиугольной пирамиде двугранный угол при стороне основания равен 60 градусов.

Найдите площадь основания пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна 20.

Dmitriy98 26 авг. 2020 г., 15:09:56 | 10 - 11 классы

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 30 градусов?

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 30 градусов.

Devill 11 окт. 2020 г., 22:37:19 | 10 - 11 классы

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см?

Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см.

Двугранный угол при основании равен а (альфа).

Найти объём пирамиды.

JaneMelnikova 5 окт. 2020 г., 19:09:35 | 10 - 11 классы

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 4 см, а двугранный угол при основания равен 60 градусов?

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 4 см, а двугранный угол при основания равен 60 градусов.

Tatyana197512 3 июн. 2020 г., 04:36:57 | 5 - 9 классы

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 30 градусов?

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 30 градусов.

Найти : площадь поверхности пирамиды.