Ребро куба равно 2, найдите расстояние между прямыми DC1 и CB1?

Arnoldhohlov 22 дек. 2019 г., 15:03:01

Все, что курсивом - "теория", нужная для решения.

В конце - само решение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так.

Надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых.

Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием.

Плоскость A1DC1 содержит прямую DC1.

Треугольник A1DC1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура D1A1DC1 - правильная треугольная пирамида, и вершина D1 проектируется на основание A1DC1 в центр K правильного треугольника A1DC1, то есть D1K перпендикулярно плоскости A1DC1 (это - высота пирамиды).

Кроме того, фигура BA1DC1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому BK - высота этого тетраэдра к грани A1DC1, то есть BK перпендикулярно A1DC1.

Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости A1DC1, и на этой прямой лежат точки B и D1.

То есть, доказано, что плоскость A1DC1 перпендикулярна диагонали куба BD1.

Точно также можно доказать, что BD1 перпендикулярно плоскости AB1C, и поэтому плоскости AB1C и A1DC1 параллельны.

Но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку A1C1 II AC ; A1D II B1C ; и разумеется, AB1 II DC1 ; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых.

Однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD1 - важно.

Если рассмотреть внимательнее тетраэдр BA1DC1, можно заметить, что плоскость AB1C пересекает "боковое ребро" BA1 в середине (диагонали квадрата A1B и AB1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра BA1DC1, параллельное грани тетраэдра A1DC1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (BD и BC1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту BK (по теореме Фалеса).

Аналогично можно показать, что плоскость A1DC1 делит пополам высоту тетраэдра D1AB1C.

Если обозначить K1 - центр треугольника AB1C, то получается D1K1 = KK1 = K1B ;

Все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять.

Поскольку KK1 - отрезок прямой BD1, перпендикулярной обеим плоскостям A1DC1 и AB1C, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми DC1 и CB1.

Длина диагонали BD = 2√3, KK1 = 2√3 / 3 ;

Dana7007 16 февр. 2019 г., 05:50:09 | 10 - 11 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см , найдите расстояние между прямыми AB и B1D?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см , найдите расстояние между прямыми AB и B1D.

Marykate1 17 июл. 2019 г., 15:24:39 | 10 - 11 классы

ABCD - куб найдите расстояние между прямыми AB1 BC если ребро куба равно 2 КОРНЯ ИЗ 2?

ABCD - куб найдите расстояние между прямыми AB1 BC если ребро куба равно 2 КОРНЯ ИЗ 2.

Elya98элечка 22 авг. 2019 г., 06:53:45 | 10 - 11 классы

ABCDA1B1C1D1 - куб, ребро которого равно корню из 32 см?

ABCDA1B1C1D1 - куб, ребро которого равно корню из 32 см.

Найдите расстояние между прямыми CC1 и DB1.

Феньки 2 дек. 2019 г., 13:33:27 | 5 - 9 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 5√6?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 5√6.

Найдите расстояние между прямыми AB1 и BD1.

Belova240778 18 нояб. 2019 г., 17:36:03 | 10 - 11 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює a?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює a.

Знайти відстань між прямими A1C і DD1.

. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равна a.

Найдите расстояние между прямыми A1C и DD1.

Skelet348 24 дек. 2019 г., 12:24:33 | 10 - 11 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см , найдите расстояние между прямыми AB и B1D?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см , найдите расстояние между прямыми AB и B1D.

Zirina485 31 окт. 2019 г., 02:23:54 | 5 - 9 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а.

Найдите расстояние между прямыми BB1 и АС1.

СРОЧНО.

CheeArin 4 апр. 2019 г., 13:04:36 | 5 - 9 классы

Ребро куба ABCDA'B'C'D' равно 1?

Ребро куба ABCDA'B'C'D' равно 1.

Точка Р - середина ребра DC.

Найдите расстояние между прямыми AA' и D'P.

Савира 15 авг. 2019 г., 17:13:58 | 5 - 9 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2см?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2см.

Найдите расстояние между прямыми AB и B1D.

Nastyasuslova1 20 окт. 2019 г., 10:54:07 | 10 - 11 классы

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a?

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a.

Найдите расстояние между прямыми A1C и DD1.