Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2а, точка р - середина отрезка ВС?

Podgorodnichenko 11 авг. 2018 г., 13:48:37

Прямые АР и B1D - скрещивающиеся, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются.

Цитаты : "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся".

Построение :

Проведем прямую КL через точку D параллельно АР.

В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно.

Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР.

Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1.

Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М.

Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией

сечения ВL.

Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР.

А) По условию :

Из треугольников АРВ, DCB и DBB1 по Пифагору :

AP = a√5, DB = 2a√2, DB1 = 2a√3.

Из подобия треугольников NPB и NAD :

BN / ND = PN / NA = PB / DA = 1 / 2.

DN = (2 / 3) * DB = 4a√2 / 3.

AN = (2 / 3)AP = 2a√5 / 3.

Площадь треугольника ADN :

Sadn = (1 / 2) * DN * DA * Sin45.

Или Sadn = 4a² / 3.

Sadn = (1 / 2) * AN * DO, отсюда DO = 2S / AN = 4a / √5.

OA = √(DA² - DO²) = √(4a² - 16a² / 5) = √[(20a² - 16a²) / 5] = 2a / √5.

ΔDAO~ΔAOM, так как < ; OAM = < ; AMO (соответтвенные стороны взаимно перпендикулярны : АМ⊥AD и MO⊥AO).

Тогда

AM / DA = AO / DO, AM = DA * AO / DO = a, и АМ = МВ = а = > ; DM = AP = a√5.

DK(KL)║AP по построению.

Треугольник PBN подобен ΔKBD, а ΔBNA подобен ΔDBL и

BP / BK = BN / BD = 1 / 3.

BK = 3a.

BL = 6a.

AL = 4a.

LM = 5a.

ΔLMT подобен ΔLBB1.

MT / BB1 = LM / LB, MT = LM * BB1 / LB.

MT = 5a * 2a / 6a = 5a / 3.

DM / DO = MT / OQ.

OQ = MT * DO / DM = (5a / 3) * (4a / √5) / a√5 = 4a / 3.

DQ = √(DO² + OQ²) = √(16a² / 5 + 16a² / 9) = 4a√14 / (3√5).

ОН = DO * OQ / DQ или ОН = (4a / √5) * (4a / 3) / [4a√14 / (3√5)] = 4a / √14 = 2a√14 / 7.

Ответ : расстояние равно 2a√14 / 7.

Б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР.

KB = 3a.

KB1 = √(KB² + BB1²) = √(9a² + 4a²) = a√13.

DB1 = 2a√3.

KD = √(KC² + DC²) = √(a² + 4a²) = a√5.

По теореме косинусов :

Cosα = (KD² + DB1² - KB1²) / (2 * KD * DB1).

Cosα = (5a² + 12a² - 13a²) / (2 * a√5 * 2a√3) = 1 / √15.

Ответ : угол α = arccos(1 / √15).

Α ≈ 75°.

Координатный метод :

Поместим начало координат в вершину А.

Вектор АР{2a ; a ; 0}, |AP| = √(4a² + a² + 0) = a√5.

Вектор B1D{ - 2a ; 2a ; - 2a}, |В1D| = √(4a² + 4a² + 4a²) = a√12 = 2a√3.

Cosα = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / [√(x1² + y1² + z1²) * √(x2² + y2² + z2²)]

cosα = ( - 4a² + 2a² + 0) / (a√5 * 2a√3] = - 2a² / 2a²√15 = - 1 / √15.

Ответ : α = arccos(1 / √15).

Α ≈ 75°.

Имеем точки А и D и направляющие вектора прямых B1D и АР :

А(0 ; 0 ; 0) ; n1{2a ; a ; 0} (1) и D(0 ; 2a ; 0) ; n2{ - 2a ; 2a ; - 2a}.

Есть формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми :

d(a ; b) = |(n1 * n2 * M1M2)| / |n1 * n2| где произведения - это произведения векторов, а М1 и М2 - произвольные точки этих прямых - в нашем случае точки А и D.

Находим смешанное произведение векторов :

(n1 * n2 * M1M2) = |2a - 2a 0| |a 2a 2a| |0 - 2a 0| = 2a(4a²) - a * 0 - 0 * 4a = 8a³.

Произведение векторов n1 и n2 :

n1 * n2 = | i j k | | 2a a 0 | | - 2a 2a - 2a| = i( - 2a² - 0) - j( - 4a²) + k(4a² + 2a²) = - 2a²i + 4a²j + 6a²k.

Модуль |n1n2| = √(4a + 16a + 36a) = a²√56.

Тогда искомое расстояние равно 8a³ / a²√56 = a * 4 / √14 = 2a√14 / 7.

MashaТ2002 28 июн. 2018 г., 13:02:24 | 10 - 11 классы

Точки М и N расположены на ребрах куба Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра куба завтра зачет помогите плиз?

Точки М и N расположены на ребрах куба Скопируйте рисунок, отметьте и обозначьте точки, в которых прямая MN пересекает прямые, содержащие другие ребра куба завтра зачет помогите плиз.

Dianak1988 7 окт. 2018 г., 13:30:31 | 5 - 9 классы

Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой l?

Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой l.

Расстояние от точки А до прямой l равно 12см, а расстояние от точки В до прямой l равно 36см найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой l.

Даня200412334 30 мар. 2018 г., 04:32:32 | 5 - 9 классы

Точка О - точка пересечения диагоналей грани АА1В1В куба АВСДА1В1С1Д1?

Точка О - точка пересечения диагоналей грани АА1В1В куба АВСДА1В1С1Д1.

Прямая Lпроходит через точку О и параллельна прямой В1С.

Вычислите площадь поверхности куба, если длина отрезка прямой L, расположенного внутри куба, равна 2см.

Pop78 3 мая 2018 г., 18:40:45 | 10 - 11 классы

Срочно решить задачу и постоить график : Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a?

Срочно решить задачу и постоить график : Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a.

Постройте сечение куба , проходящее через прямую C и середину ребра АD параллельно прямой DА1, и найдите площадь этого сечения.

Plaksienkomilen 31 июл. 2018 г., 01:28:25 | 5 - 9 классы

Ребро куба ABCDA'B'C'D' равно 1?

Ребро куба ABCDA'B'C'D' равно 1.

Точка Р - середина ребра DC.

Найдите расстояние между прямыми AA' и D'P.

Yasopowa 17 февр. 2018 г., 23:06:39 | 5 - 9 классы

Помогите решить : концы отрезка АВ лежат на паралельных прямых а и в?

Помогите решить : концы отрезка АВ лежат на паралельных прямых а и в.

Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и в в точках С и Д.

Докажите что СО равно ОД.

Ирэн6 27 окт. 2018 г., 04:44:11 | 5 - 9 классы

Выберите верное утверждение : Расстояние от точки до прямой?

Выберите верное утверждение : Расстояние от точки до прямой.

1) расстояние от прямой до прямой равно наименьшему из расстояний от этой прямой до точек другой прямой 2) расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой 3) длина отрезка от точки до прямой равна наименьшему из отрезков от этой точки до точки прямой 4) расстояние от точки до прямой равно наибольшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

Keds 1 июн. 2018 г., 18:59:08 | 5 - 9 классы

Через середину отрезка АВ проведена прямая найдите расстояние от точки А до этой прямой если расстояние от точки В = 8 см?

Через середину отрезка АВ проведена прямая найдите расстояние от точки А до этой прямой если расстояние от точки В = 8 см.

Q1913571 5 авг. 2018 г., 14:48:22 | 10 - 11 классы

Ребро куба ABCDA1E1C1 равно А?

Ребро куба ABCDA1E1C1 равно А.

Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DА1, и найдите площадь этого сечения.

Muradboz 22 мая 2018 г., 14:54:48 | 5 - 9 классы

Точка А не лежит на прямой ВС?

Точка А не лежит на прямой ВС.

Точка М - середина отрезка АС, точка В - середина отрезка СК.

Как расположены прямые АВ и КМ?

Можно с подробностями.