Одна из диагоналей равнобокой?

Ernest26averin 11 нояб. 2020 г., 09:49:40

Пусть основания трапеции a (большее) иb, боковая сторона ПО УСЛОВИЮ тоже равна b, а диагональ a.

Легко видеть, что диагональ является биссектрисой углаα трапециипри большем основании, поскольку треугольник со сторонами b и b - равнобедренный.

Угол между диагональю и большим основанием равен углу диагонали с меньшим основанием, и - следовательно - равен углу диагонали с боковой стороной.

Тогда из равнобедренного треугольника, образованного большим основанием, диагональю и боковой стороной, получаетсяα / 2 + 2 * α = 180° ; α = 72° ;

Этот угол, само собой, равен углу между диагоналями - угол между диагоналями является внешним при вершинедля равнобедренного треугольника, образованного двумя диагоналями и большим основанием, у которого углы при основании равныα / 2 ;

У этой задачи есть очень важное и совсемнетривиальное продолжение.

Если продлить боковые стороны до пересечения, то угол при вершине получившегося треугольника будет равен 180° - 2 * 72° = 36° ; получился еще один равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны - диагональ, и боковая сторона "достроенного" треугольника.

То есть у "достроенного" треугольника с основанием b боковые стороны равны диагонали a.

Весь же треугольник (включая трапецию) можно описать так - это равнобедренный треугольник, у которого равны между собой три отрезка - основание, биссектриса угла при основании и отрезок боковой стороны от вершины до точки пересечения с биссектрисой.

Этих свойств треугольника достаточно, чтобы угол при основании был равен 72° ;

Отсюда получается по свойству биссектрисы

a / b = (b + a) / a ; или 4 * x ^ 2 + 2 * x - 1 = 0 ; где x = b / (2a) = cos(72°) ;

отсюда cos(72°) = (√5 - 1) / 4 ;

С помощью тригонометрии для cos(72°) (или, что то же самое, sin(18°)) можно получить кубическое уравнение.

Его тоже можно решить, конечно.

Но с помощью построенного треугольника для cos(72°) получается квадратное уравнение.

Это очень ценный результат.

Юляшечкааааа 14 сент. 2020 г., 21:29:36 | 5 - 9 классы

Диагональ равнобедренной трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника?

Диагональ равнобедренной трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника.

Найдите углы трапеции.

Киска879 20 мар. 2020 г., 08:13:46 | 5 - 9 классы

Диагональ равнобокой трапеции делит её острый угол пополам?

Диагональ равнобокой трапеции делит её острый угол пополам.

Основание трапеции равны 6 см, 15 см.

Найтипериметр трапеции.

Sogolaeva210698 26 нояб. 2020 г., 14:04:27 | 5 - 9 классы

Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит ее острый угол пополам?

Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит ее острый угол пополам.

Найдите площадь трапеции.

Gcjchugg 18 июл. 2020 г., 08:42:23 | 5 - 9 классы

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника?

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника.

Найдите углы трапеции.

Arnika200 28 окт. 2020 г., 18:15:16 | 5 - 9 классы

Высота равнобокой трапеции равна 4√3 см, а тупой угол равен 120°?

Высота равнобокой трапеции равна 4√3 см, а тупой угол равен 120°.

Найдите площадь трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА.

Qazwsx1488 2 дек. 2020 г., 19:05:23 | 5 - 9 классы

Основания равнобокой трапеции 37см и 61см, а диагональ делит ее острый угол пополам?

Основания равнобокой трапеции 37см и 61см, а диагональ делит ее острый угол пополам.

Найти площадь трапеции.

Помогите, пожалуйста.

Snikersslg 17 июл. 2020 г., 05:42:01 | 5 - 9 классы

. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов?

. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов.

Доказать, что эта трапеция равнобокая.

Tolikrod500 27 июн. 2020 г., 00:22:50 | 5 - 9 классы

В не которой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин основной трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов?

В не которой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин основной трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов.

Доказать, что эта трапеция равнобокая.

Seda1 15 мар. 2020 г., 14:46:05 | 5 - 9 классы

Основание равнобокой трапеции равны 15 и 33 см, а диагональ делит ее острый угол пополам?

Основание равнобокой трапеции равны 15 и 33 см, а диагональ делит ее острый угол пополам.

Найдите площадь трапеции.

SSER30 28 окт. 2020 г., 00:19:44 | 5 - 9 классы

Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедреных треугольника?

Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедреных треугольника.

Найдите углы трапеции.