В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и AB1D1?

VиkтoрiА 31 авг. 2019 г., 14:46:46

Задачу можно очень сильно упростить.

Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям.

Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям.

Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей.

Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние.

Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно√2, а высота треугольникаА1КМ (и В1КМ - тоже) равна√3 / 2 ;

То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов

(√2) ^ 2 = (√3 / 2) ^ 2 + (√3 / 2) ^ 2 - 2 * (√3 / 2) * (√3 / 2) * x ; x = - 1 / 3 ; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный.

Дополнительный к нему угол имеет косинус 1 / 3 ; это просто вопрос выбора.

На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод.

Пусть Р - середина А1В1.

Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.

Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1 ;

Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1, 0, 0) ; А1 = (0, - 1, 0) ; М = (0, 0, - 1) ;

уравнение такой плоскости x - y - z = 1 ; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)

Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1, - 1, - 1) ;

модуль этого вектора равен√3

Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1, 0, 0) ; В1 = (0, 1, 0) ; М = (0, 0, - 1) ;

уравнение такой плоскости x + y - z = 1 ;

Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1, - 1) ;

модуль этого вектора тоже равен √3 ;

осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули.

Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1 ; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1 / 3.

Видно, что тут ответ получается сам собой.

Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.

Gladiato3 18 февр. 2019 г., 00:07:32 | 10 - 11 классы

Диагональ куба равна 6 см?

Диагональ куба равна 6 см.

Найдите : а) ребро куба б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Bizaro12 18 мар. 2019 г., 11:01:05 | 10 - 11 классы

Диогональ куба 6см?

Диогональ куба 6см.

Найдите ребро куба и косинус угла между диогональю куба и плоскостью одной и его граней.

Vidyasheva 28 янв. 2019 г., 04:03:32 | 10 - 11 классы

Диогональ куба 6см?

Диогональ куба 6см.

Найдите ребро куба и косинус угла между диогональю куба и плоскостью одной и его граней.

Olga2323 1 янв. 2019 г., 12:32:26 | 10 - 11 классы

Диагональ куба равна 6 см?

Диагональ куба равна 6 см.

Найдите : а) ребро куба ; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Karisha20031 15 дек. 2019 г., 20:09:21 | 5 - 9 классы

Найдите косинус угла BAC треугольника ABC, изображенного на рисунке?

Найдите косинус угла BAC треугольника ABC, изображенного на рисунке.

Twox 7 февр. 2019 г., 02:36:56 | 10 - 11 классы

В кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и ВА1Д1?

В кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и ВА1Д1.

Podsk 9 сент. 2019 г., 02:29:18 | 10 - 11 классы

Диагональ куба равна 6см?

Диагональ куба равна 6см.

Найдите : а) ребро куба б) косинус угла между диалональю куба и плоскостью одной из его граней.

Dasha66677 8 окт. 2019 г., 14:11:54 | 10 - 11 классы

Диагональ куба равна 6 см?

Диагональ куба равна 6 см.

Найдите : а)ребро куба б)косинус угла между диагональю кубы и плоскостью одной из его граней.

AgressaT 5 дек. 2019 г., 07:39:34 | 10 - 11 классы

Диагональ куба равна 6 см?

Диагональ куба равна 6 см.

Найдите : а)ребро куба б)косинус угла между диагональю кубы и плоскостью одной из его граней.

Irinatikhanova 12 мая 2019 г., 09:56:05 | 5 - 9 классы

Найдите косинус угла bac треугольника abc изображенного на рисунке?

Найдите косинус угла bac треугольника abc изображенного на рисунке.